难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题角平分线定理焦半径公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）角平分线定理

$F_1{F}_2=2\sqrt{3}$

$\frac{P{F}_1}{M{F}_1}=\frac{P{F}_2}{M{F}_2}$

$P{F}_1=a+e{x}_0=2+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_0$

$P{F}_2=a-e{x}_0=2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_0$

$M{F}_1=m+\sqrt{3},M{F}_2=\sqrt{3}-m$

$\frac{P{F}_1}{M{F}_1}=\frac{P{F}_2}{M{F}_2}$

$\frac{2+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_0}{\sqrt{3}+m}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_0}{\sqrt{3}-m}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$2\sqrt{3}+\frac{3}{2}{x}_0=2\sqrt{3}+2m$

$m=\frac{3}{4}{x}_0\in (-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

解（3）解切点

设 $l:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1,x^2+4y^2-4=0\\ y=kx+m,x^2+4(kx+m{)}^2-4=0\end{array}$

$(4k^2+1)x^2+8kmx+4m^2-4-0$

$\mathrm{\Delta }=0$

$2x_0=\frac{-8km}{4k^2+1}$

$x_0=\frac{-4km}{4k^2+1}$

$y_0=k{x}_0+m=\frac{m}{4k^2+1}$

$\frac{1}{k{k}_1}+\frac{1}{k{k}_2}=\frac{x_0+\sqrt{3}}{k{y}_0}+\frac{x_0-\sqrt{3}}{k{y}_0}$

$=\frac{2x_0}{k{y}_0}=\frac{-8km}{km}=-8$

焦半径公式

椭圆或双曲线上的一个点 $P(x_0,y_0)$ 到焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 的距离 $P{F}_1,P{F}_2$ 都叫作焦半径

抛物线 $y^2=2px$ 的焦半径直接根据定义得出：$x_0+\frac{p}{2}$

$P{F}_1=a+e{x}_0$

$P{F}_2=a-e{x}_0$

证明：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$y^2=b^2-\frac{b^2{x}^2}{a^2}$

$P{F}_1=\sqrt{(x_0+c{)}^2+y_0^2}=\sqrt{x_0^2+2c{x}_0+c^2+y_0^2}$

$=\sqrt{x_0^2+2c{x}_0+c^2+b^2-\frac{b^2{x}^2}{a^2}}$

$=\sqrt{(\frac{a^2-b^2}{a^2})x_0^2+2x_{0}c+c^2+b^2}$

$=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}{x}_0^2+2x_{0}c+a^2}$

$=\sqrt{(\frac{c}{a}{x}_0+a)}$

$=a+e{x}_0$

同理，$P{F}_2=a-e{x}_0$（$e=\frac{c}{a}\in (0,1)$，所以 $a-e{x}_0$）

小学知识

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$$

TIP

单切线问题，切线的切点 $(x_p,y_p)$ 都是可解得。

切点就是重根。

其实就是 $x_p=\frac{x_1+x_2}{2}$

$y_p=\frac{y_1+y_2}{2}$

只不过 $x_1=x_2,y_1=y_2$