00.复习清单4

1

• 诱导公式中，tan 与 1/tan 互变符号
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.1 基础公式问题/4.1.1.1 利用诱导公式解决问题(一轮).html#笔记
• sin30 = 1/2
  • 更多特殊角的三角函数值：
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/02_总结文章/04_三角函数知识总结.html#特殊三角函数值表
• 很多时候诱导公式想不明白，可以直接用和差角公式。虽然麻烦点，但省去思维量
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.1 基础公式问题/4.1.1.1 利用诱导公式解决问题(一轮).html#_4

2

• 在三角形中，已知 tanA，不管 tanA 是正数还是负数，都可以快速求知出 sinA、cosA 的值。
  • 就拿 tanA = -2 来说，我们依然可以画出直角三角形，先不看符号!
  • 
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.2 字母型角度化简求值问题/4.1.2.1 单一角度化简求值(一轮).html#_4
• 用 1 来凑齐次式，还可以用平方来凑齐次式（先算平方值，最后开方求解）
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.2 字母型角度化简求值问题/4.1.2.1 单一角度化简求值(一轮).html#_5

3

• 根本不需要记忆和差化积、积化和差公式，直接利用对称拆分、配凑法就可以解出题目。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.2 字母型角度化简求值问题/4.1.2.2 多角度化简求值(一轮).html#_10

4

• 单一角度化简求值
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.2 字母型角度化简求值问题/4.1.2.1 单一角度化简求值(一轮).html#_4-1-2-1-单一角度化简求值-一轮
• 多角度化简求值
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.2 字母型角度化简求值问题/4.1.2.2 多角度化简求值(一轮).html#_4-1-2-2-多角度化简求值-一轮

5

• 三角函数转化为二次函数求最值时，注意在给定的定义域下，最值可能不是在对称轴处取，而是在端点处取

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#_1

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• 同角齐次问题，利用辅助角公式解题
• 同角非齐次问题，利用倍角公式，转化为二次函数后解题

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#笔记

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#_3

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#_4

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#_5

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.1 三角函数的恒等变换/4.1.3 综合问题/4.1.3.1 三角函数的值域和最值(一轮).html#_6

7

• 如果一个题目要求写单调区间，那么一定写成开区间。开区间一定不会错，但闭区间可能会错，可能会没有定义。

8

求一个复合的三角函数的单调区间时，记得要写 +2kπ。不要再最后加上 +2kπ，因为 +2kπ 也是要参与运算的。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.1 正弦型三角函数图像/4.2.1.1 Asin(ωx+φ)的图像（一轮）.html#_3

9

• 三角函数的变换，只针对 x。相当于对一个 $f(x)$ 进行变换，只考虑对 x 怎么办。
  • 于是对于这种情况我们也就理解：将 x 变为 -x，就是将函数的 x 坐标关于 y 轴进行翻转。如果 $f(x-2)$ 为偶函数，那么就有 $f(-x-2)=f(x-2)$
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/2 函数/2.2 函数的性质/2.2.3 周期性/2.2.3.1 周期性的判断与应用(一轮).html#_8

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.2 三角函数的图像变换/4.2.2.1 三角函数图像变换模型与技巧(一轮).html#笔记

10

• 三角函数图像的速算技巧：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.2 三角函数的图像变换/4.2.2.2 图像求值速算技巧(一轮).html
• 在正弦、余弦三角函数的一个周期里，最大值、最小值只有一个。
  • 而零点，可能是上升的零点，也可能是下降的零点

11

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.3 三角函数图象的性质/4.2.3.1 ω的性质(一轮).html#_5

12

对于 $f(x)=sinwx+coswx$，利用辅助角公式能求出 $\phi$，即 $f(x)=\sqrt{2}sin(wx+\frac{\pi }{4})$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.3 三角函数图象的性质/4.2.3.1 ω的性质(一轮).html#_4

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• 三角函数中，知道了 $\omega$，就相当于知道了周期。因为 $\omega =\frac{2\pi }{T}$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.2 三角函数的图像/4.2.3 三角函数图象的性质/4.2.3.1 ω的性质(一轮).html#_6

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• 记得角平分线定理！
  • 注意不同于射影定理：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/1 数学通用基础/00.复习清单1.html#_3
• 记得角平分线题的优先解题思路：
  • 角平分线定理（在三角函数体里需要证明（如何证明？利用正弦定理），在圆锥曲线里不需要证明）
  • T字模型法
• 记得三角形中线题的常用解题思路（按优先顺序）：
  • 中线倍长法
  • T字模型法
  • 向量法（不推荐）

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.3 三角形中的几何问题/4.3.3.1 三角形中线与角平分线及变形（一轮）.html#笔记

15

• 三角形中求最值问题，可以边换角，使用辅助角公式解决。也可以用角换边，用均值不等式解决
  • 均值不等式的等量关系条件为余弦定理
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.1 代数法——边换角用辅助角公式(一轮).html#笔记

16

• 三角形中已知一个角 A，另外两个角可以用 1 个变量表示出来。例如
  • 已知角 A=60°，那么 B+C=120°。设 B = θ，则 C = 120°- θ
• 如果求 a + c 最值，往往给一个条件。这个条件绝不是 a、c 的一次式，而应该是二次式或 -1 次式。
  • 不可能用条件 a+c=1 求 4a+c 的最值。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.2 代数法——角换边用均值不等式(一轮).html#_6

17

• 对于式子 $sinAsin(\frac{2\pi }{3}-A)$，必须展开，然后利用辅助角公式、倍角公式求最值。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.1 代数法——边换角用辅助角公式(一轮).html#_4

17

• 记得三角形的外接圆、阿氏圆的相关速算知识。
  • 阿氏圆三角形的顶点角作角平分线，交于底边于 D 点。D 点一定在圆上。
  • 阿氏圆的两条斜边一定有比例关系。
• 三角形一边的中点将三角形分为两个三角形。且这两个三角形的面积相等，所以问三角形面积的最大值，等于问其中一个三角形面积的最大值。
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.4 几何法——利用阿氏圆速算(一轮).html#_18
• 出现三角形的内心，就画一个内切圆。
• 轮换对称式，估计就是具有两个变量的式子，且这两个变量的系数相同
  • 当这两个变量相等时，式子取得最值
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.3 几何法——利用三角形外接圆速算(一轮).html#_11

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.4 几何法——利用阿氏圆速算(一轮).html#笔记

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• 利用阿氏圆，可以简单的利用角平分线定理、求阿氏圆的 2r，把三角形的边求出来。
  • 最好不要用设未知数、列购固定列方法做，太麻烦了。本来就是很简单的加减运算

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/4 三角函数/4.3 解三角形/4.3.4 三角形中的范围与最值问题/4.3.4.4 几何法——利用阿氏圆速算(一轮).html#_16