00.复习清单3

1

要将一个函数 $f (x)$ 关于 y 轴翻折，只需将 x 写为 -x。
- f(-x) 就是 f(x) 关于 y 轴对称的函数表达式。
- 同理，假设有 $f (x - 2)$ ，那么它关于 y 轴对称的表示式就是 $f (- x - 2)$ 。只需要将 x 变为 -x
- 也可以自己举例：比如 $f (x - 2) = x$ ，那么 $f (- x - 2) = - x$ 。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.1 导数的概念与意义/3.1.2 导数的几何意义/3.1.2.1 已知切点的切线问题及其直接应用（一轮）.html#补充题1

2

如果一个函数 x、y 对调后，新函数与原函数关于 y=x 对称；

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.1 导数的概念与意义/3.1.2 导数的几何意义/3.1.2.1 已知切点的切线问题及其直接应用（一轮）.html#补充题2

3

点到直线的距离公式：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/02_总结文章/03_点到直线和直线到直线距离公式、直线过定点求解.html

4

导数可分解型讨论单调性
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.2 单调性问题/3.2.1 讨论单调区间/3.2.1.1 导数可分解型讨论单调性(一轮).html#笔记
导数不可分解型讨论单调性
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.2 单调性问题/3.2.1 讨论单调区间/3.2.1.2 导数不可分解型讨论单调性(一轮).html#笔记
导数超越函数型讨论单调性
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.2 单调性问题/3.2.1 讨论单调区间/3.2.1.3 导数超越函数型讨论单调性(一轮).html#笔记

5

导数为二次函数型已知单调性求参数范围，转化为恒成立问题。

且所求参数范围一定是闭区间。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.2 单调性问题/3.2.2 已知单调性求参数范围/3.2.2.1 导数为二次函数型已知单调性求参数范围(一轮).html

6

要看函数的单调区间，可以求导，并画表，直观方便。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.3 极值最值问题/3.3.1 最值讨论与值域/3.3.1.1 函数的最值与值域(一轮).html#_3

7

二次型函数求参数范围，有时候就算定义域不为 R，也可以通过判断 $Δ$ 来求解参数范围：

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.3 极值最值问题/3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题/3.3.2.1 单函数单调性构造(一轮).html#_3

8

cos1 约等于 cos 60°，注意不是约等于 cos0 ！
- $\frac{π}{3} \approx 1$
不可因式分解，且是恒成立问题时，使用端点恒成立方法，先在草稿纸上验证两端的端点，求出范围，取一个最小的范围作为证明条件。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.2-3 端点恒成立(一轮).html#_5

一定要验证两端的端点都符合题意。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.2-3 端点恒成立(一轮).html#第二问

9

端点恒成立问题、中间点恒成立问题，太难，先放弃。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.4-5 中间点恒成立(上)(一轮).html#_7

10

恒成立问题，使用参变分离时，可能会用到洛必达法则。
- 知道怎么使用洛必达法则：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.6 参变分离法(一轮).html#笔记

11

整数参数的最值问题，一定使用参变分离 + 极值点方程消参方法。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.7 求整数参数最值问题(一轮).html

12

解答题时，运用切线放缩时 $e^{x} \geq x + 1$ 和 $x - 1 \geq l n x$ 得出参数范围后，只是证明了必要性，还必须证明充分性。
- 证明充分性方法：找 $e^{x + l n x} = x + l n x + 1$ 的取等条件：即 $x + l n x = 0$ ，
- 然后说明与题意不符即可。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围/3.4.1.8 幂指函数恒成立问题速解技巧(一轮).html

13

学习，按照要解决的问题、题型分类，而不是用方法分类！这才是正确的思维顺序：先认识题型，再找方法

14

导函数原型构造问题：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.1 导数的概念与意义/3.1.1 导数的基本概念/3.1.1.1 导函数原型构造问题(二轮).html
- 常规做法是构造出原函数，然后得出原函数单调性，再然后根据原函数单调性得出不等关系
- 例题： http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.1 导数的概念与意义/3.1.1 导数的基本概念/3.1.1.2 导函数原型构造速解技巧(二轮).html#_3
学会导数原型构造的速算技巧：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.1 导数的概念与意义/3.1.1 导数的基本概念/3.1.1.2 导函数原型构造速解技巧(二轮).html#_3

15

$f (x_{0}) = \frac{1}{x_{0} + m} + x_{0}$ 也要能识别出来这是一个对钩函数
- $= \frac{1}{x_{0} + m} + x_{0} + m - m$
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.2 已知参数范围证明恒成立/3.4.2.1 方程消参(二轮).html#_1
已知参数范围，证明恒成立问题，其实就是端点恒成立的“充分性”部分。可能会用到极值点方程消参。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.4 恒成立与存在性问题/3.4.2 已知参数范围证明恒成立/3.4.2.1 方程消参(二轮).html#_3-4-2-1-方程消参-二轮

16

一个复合函数由两个函数相加得来，那么若这两个函数都是增函数，则复合函数就是增函数；若两个函数都是减函数，则复合函数就是减函数；
一个复合函数由两个函数相减得来，若是增函数 - 减函数，那么复合函数就是增函数。
一个复合函数由两个函数相加减得来，那么这两个函数相切的点的横坐标，一定是复合函数的零点，且是复合函数的导函数的零点
若一个导函数的单调区间里含有未知的极值点 $x_{0}$ ，那么我们一定要画图，根据 $x_{0}$ 的范围确定导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图像，并得出 $f^{'} (x)$ 在两端与 0 的大小。
- 这样可能会得出结论存在 $x_{1} \in$ 哪个区间，使得 $f^{'} (x) = 0$ 。
- 然后据此得出原函数 f(x) 的图像
- 经典例题：http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.5 根与方程问题/3.5.1 根与零点问题/3.5.1.2 零点个数的分区间讨论(二轮).html#_5

17

知道“切线条数类”问题该怎么列方程（根据斜率与切点处的相等，且要把分母乘过去，因为分母可以得 0）
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.5 根与方程问题/3.5.2 切线相关问题/3.5.2.1 切线条数与切点方程(二轮).html
知道切线类题目的技巧，就是根据拐点处切线、正负无穷出的渐近线判断几条切线。
- 想象上凸的图形，就是一个上半圆。如下图，在阴影部分的点都有两条切线
三次函数的拐点就是其对称中心的横坐标。怎么求：令二阶导 = 0
双切线问题与单切线问题类似。但双切线问题需要根据斜率相等列 3 个连等方程。未知数为 $x_{1}, x_{2}$ 。有时候计算可能会比较复杂
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.5 根与方程问题/3.5.2 切线相关问题/3.5.2.2 公切线问题(二轮).html#笔记
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.5 根与方程问题/3.5.2 切线相关问题/3.5.2.2 公切线问题(二轮).html#_6

18

极值点偏移的基础问题，不要想着求构造函数的二次导，根据二次导来判断正负号，直接对式子代入展开，然后合并化简，得出构造函数的正负号，然后得出构造函数的单调性。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/3 导数及其应用/3.5 根与方程问题/3.5.3 双零点问题/3.5.3.1 极值点偏移经典模型(上)(二轮).html#_1

19

极值点偏移问题，如果直接根据题目给的不等式证明，极值点是一个参数，也能证明出来；如果自己证明不出来，那么可能是哪里的自变量取值范围搞错了
极值点偏移问题，需要会做两种方法；有些方法一能做出来，有些只有方法二能做出来；

20

极值点偏移问题，很难。

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率