00.复习清单7

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注意扇形面积公式，也有个 $\frac{1}{2}$，$S=\frac{1}{2}\times \mathrm{半}\mathrm{径}\times \mathrm{弧}\mathrm{长}$

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2

• 棱台的体积公式，其实就是 $\frac{1}{2}Sh$，这个 s 都是一次的。$S=(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

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已知几何体求外接球，简单题一般都属于这两种情况之一：

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• 记住对棱相等（aa/bb/cc）的四面体，有结论：
  • 
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.1 空间几何体/7.1.2 与球有关的问题/7.1.2.1 已知几何体求外接球(上)(一轮).html#笔记

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.1 空间几何体/7.1.2 与球有关的问题/7.1.2.2 已知几何体求外接球(下)(一轮).html#_9

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• 一般棱锥求其外接圆 R，这个一般棱锥还是有些特点。比如是两个等腰三角形凑起来的三棱锥。
  • 利用三心面求解。（3个圆心的一个界面。2 个底面的圆心 + 1 个球心）
  • 有时候找到的 3 心一面的三角形是个等腰三角形，那就很好做。也有可能自己没发现，就算得比较麻烦
• 如果已知一个特殊三角形（等腰、直角、等边）的三边长，那么可以直接利用几何法求出其外接圆的 R。不用三角函数 的 正弦定理。
  • 同理也可以直接利用几何法S=1/2 底乘高 求出其面积，而不用先算 cos，再算 sin，再用公式 $S=\frac{1}{2}absin\theta$
  • 

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• 直径所对球面角为 90度。
• R^2 = h^2 + r^2. 且 H=2h
• 画三棱锥的一条棱为球直径的图：
  • 

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7

• 求正四面体的高，很好求。
  • 假设棱长为 a。高线过外接球心和底面的一个圆心。高线与底面的交点到底面顶点的距离即是外接圆的半径。利用 $2r=\frac{a}{sin60}$，解得 $r=\frac{a}{\sqrt{3}}$
  • 然后高线与底面的外接圆半径垂直，利用勾股定理求出高线。$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}a$
• 假设有一个四棱锥的内切球的半径为 r，那么有
  • $V_1=\frac{1}{3}{S}_{1}r$
  • $V_2=\frac{1}{3}{S}_{2}r$
  • $V_3=\frac{1}{3}{S}_{3}r$
  • $V_4=\frac{1}{3}{S}_{4}r$
  • 即 $V_{\mathrm{总}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{表}}r$
  • 所以 $r=\frac{3V_{\mathrm{总}}}{S_{\mathrm{表}}}$

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• 只要多面体的所有面均与内切球相切，都可以用公式 $V_{\mathrm{总}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{表}}r$
  • 比如四棱锥可以用这个公式，圆锥也可以用这个公式

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• 对棱相等的四面体 = 所有棱长都相等的三棱锥（假设棱长为 a）。
  • 求这种对棱相等的三棱锥，可以把它移到一个长方体中，每条棱其实是一个面的对角线。所以它的的外接圆就是长方体的外接圆。
  • 假设这个长方体的边长为 x、y、z，那么有
    • $a^2=x^2+y^2$
    • $a^2=x^2+z^2$
    • $a^2=y^2+z^2$
    • 与长方体外接圆半径有关系： $(2R{)}^2=x^2+y^2+z^2=\frac{a^2+a^2+a^2}{2}=\frac{3}{2}{a}^2$
  • 所以易求得正四面体的外接圆半径 $R=\sqrt{\frac{3}{8}}a$

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• 长方体内部两个互相外切、且每个球均与长方体的三个面相切的 2 个球体，其半径之和 $r_1+r_2$ 始终为一个定值。（长方体长宽高固定）

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• 学会如何解决截面问题的方法：

  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.2 空间中的位置关系/7.2.1 位置关系选择填空/7.2.1.1 截面及空间定量问题(一轮).html#笔记

• 设向量时设成单位向量，可以方便计算夹角。两个单位向量点乘，结果就是 $cos\theta$

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• 对于题目中没有画出两个平面的交线的那种题，可能会用到 由线面平行推出线线平行的方法。
  • 由线面平行推出线线平行：
    • 一条线 l 与平面 B 平行，那么线 l 所在平面 A 与 B 相交的 m 与 l 也平行。
    • $l\in \alpha$
    • $l//\beta$
    • $\alpha \cap \beta =m$
    • 所以 $l//m$
• 证明一条线 l 与某条线或某个面平行或垂直不好证明，那么可以找与这条线 l 与平行的线 l2，证明 l2 能否成立。
  • 即平行转移、或三垂线定理。

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• 在长方体中，不好说明 两个对着的面的对角线平行。但是好说明对着的棱长平行或垂直。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.2 空间中的位置关系/7.2.2 位置关系解答题/7.2.2.3 存在性探究问题(一轮).html#_9

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• 是的，棱形是平行四边形的一种。 棱形的定义是：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形。换句话说，棱形是特殊的平行四边形，四条边均相等。

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• 理解线线平行、线面平行、面面平行可以从左往右推，也可以从右往左推。但是不能越级。
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.2 空间中的位置关系/7.2.2 位置关系解答题/7.2.2.1 平行的判定与性质应用(一轮).html#笔记
• 理解线线垂直、线面垂直、面面垂直可以从左往右推，也可以从右往左推。但是不能越级。
  • http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/7 立体几何/7.2 空间中的位置关系/7.2.2 位置关系解答题/7.2.2.2 垂直的判定与性质应用(一轮).html#笔记